Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
a)Bentuk Eselon-Baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
- 1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
- 2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
- 3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
- 4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh:
syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah
pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana.
Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss
sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini
juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan
linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan
linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Diketahui persamaan linear : x + 2y + 3z = 3
- 2x + 3y + 2z = 3
- 2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Implisit yang Dapat Difaktorkan
Penyelesaian SPLK implisit yang dapat difaktorkan adalah sebagai berikut.
- Ubah persamaan ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 menjadi bentuk (mx + ny)2 - s2 = 0 selanjutnya diubah menjadi {(mx + ny) + s}{(mx + ny) -s} = 0, sehingga diperoleh
mx + ny + s = 0 atau mx + ny -s = 0 - Eliminasikan persamaan px + qy + r = 0 dengan mx + ny + s = 0 dan mx + ny -s = 0 sehingga diperolah nilai x dan y.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0
Jawab:
x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0
(x - 3y)2 - 36 = 0
(x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0
x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0
x - 3y = -6 atau x - 3y = 6
Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6 dan x - 3y = 6
x2 - 6xy + 9y2 - 36 = 0
(x - 3y)2 - 36 = 0
(x - 3y + 6)(x - 3y - 6) = 0
x - 3y + 6 = 0 atau x - 3y - 6 = 0
x - 3y = -6 atau x - 3y = 6
Eliminasikan x + y = 2 dengan x - 3y = -6 dan x - 3y = 6
x + y = 2
x - 3y = -6
4y = 8 x + 2 = 8
y = 2 x = 0
x + y = 2
x - 3y = -6
4y = 8 x + 2 = 8
y = 2 x = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar