VEKTOR

                         Analisis Vektor dengan Pendekatan Matriks

Definisi Vektor

        
             Vektor adalah istilah yang sangat akrab bagi orang – orang yang berkecimpung di bidang fisika. Tentu saja karena vektor adalah istilah penting yang berhubungan dengan sifat yang dimiliki oleh suatu objek. Vektor atau besaran vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai besar atau nilai dan arah, sedangkan definisi dari besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Akan sangat panjang jika kita membahas definisi besaran di sini, maka mari kita kembali menengok pembahasan vektor kita. Catatan ini akan lebih banyak membahas operasi matematika pada vektor, jika pembaca ingin mengetahui lebih banyak tentang definisi vektor dan aturan penulisan vektor, pembaca dapat membaca referensi – referensi lain yang membahas tentang vektor.

Vektor dapat direpresentasikan ke dalam bentuk vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor pada arah sumbu x, y, atau z pada koordinat kartesian yang memiliki besar satu satuan. Misalnya suatu vektor dua dimensi pada koordinat kartesian F = 16 N pada arah 60 derajat dapat direpresentasikan dalam vektor satuannya sebagai F = (8i + 13.86j) N, dengan huruf i menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 8 N pada arah sumbu x dan huruf j menunjukkan vektor satuan dari F yang bernilai 13.86 N pada arah sumbu y. Untuk vektor tiga dimensi kita dapat menambahkan vektor satuan dengan lambang k untuk merepresentasikan vektor pada arah sumbu z. Secara umum kita dapat menuliskan suatu vektor F = Fxi + Fyj + Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz masing – masing adalah nilai komponen vektor F pada arah sumbu x, y, dan z.

Berawal dari penulisan besaran vektor dalam bentuk vektor satuan, kita akan menemukan bahwa melalui suatu persamaan bentuk, maka kita dapat mengaplikasikan operasi matriks dalam menganalisis nilai dari operasi matematika untuk satu atau lebih besaran vektor. Ada beberapa operasi matematika pada besaran vektor, misalnya penjumlahan, pengurangan, perkalian titik (dot product), dan perkalian silang (cross product). Ada pula istilah operator di dalam analisis vektor, Anda akan memahaminya lebih dalam ketika belajar tentang Kalkulus Vektor. Kali ini kita akan membahas operasi – operasi matematika dasar pada vektor melalui pendekatan bentuk matriks. Melalui pendekatan ini diharapkan akan mempermudah proses analisis besaran vektor dan memberikan pemahaman yang lebih dalam tentang besaran vektor.

Operasi Matematika pada Vektor dengan Pendekatan Matriks

            Besaran vektor dapat dijumlahkan satu sama lain, misal kita mempunyai vektor A = 5i + 5j – 5k dan vektor B = 4i-3j+2k. Maka kita dapat mengetahui hasil penjumlahan vektor A + B = R dengan menjumlahkan nilai masing – masing komponen vektor satuannya yang bersesuaian. Melalui konsep tersebut kita bisa menentukan nilai R = (5+4)i + (5+(-3))j + ((-5)+2)k, sehingga R = 9i + 2j – 3k. Sekarang kita menggunakan pendekatan matriks untuk operasi penjumlahan tersebut, bayangkan kita memiliki sebuah matriks 1×3, dengan masing – masing kolom terisi nilai vektor pada sumbu x, y, dan z. Misalnya, F = [Fx Fy Fz], dengan Fx adalah nilai vektor F pada sumbu x, Fy adalah nilai vektor F pada sumbu y, dan Fz adalah nilai vektor F pada sumbu z. Kita akan mendapatkan vektor A = [5 5 -5] dan vektor B = [4 -3 2], dari bentuk matriks tersebut kita dapat memperoleh hasil penjumlahan kedua vektor tersebut, R, dengan cara menjumlahkan vektor (atau sekarang bisa kita sebut matriks) A dan B melalui operasi penjumlahan pada matriks biasa. Kita akan memperoleh R = [9 2 -3], bandingkan dengan hasil yang kita peroleh sebelumnya, bersesuaian bukan?

Untuk operasi pengurangan vektor, mari kita tinjau kembali konsep dari pengurangan suatu vektor dengan vektor yang lain. Kita akan mendapatkan bahwa mengurangkan suatu vektor dengan vektor yang lain sama dengan menjumlahkan suatu vektor dengan lawan vektor yang lain. Dalam hal ini, yang dimaksud lawan adalah nilai negatif dari vektor yang dimaksud, contohnya -1 adalah lawan dari 1. Dari sini kita dapat menggunakan konsep penjumlahan vektor dengan catatan mengubah nilai vektor pengurangnya menjadi nilai lawannya. Misalkan kita akan mengurangkan vektor A dengan vektor B pada contoh sebelumnya. Maka kita akan memperoleh R = A + (-B), dengan nilai -B = [-4 3 -2], sehingga R = [1 8 -7].

Perkalian pada vektor ada dua macam, yaitu perkalian titik atau perkalian skalar (dot product) dan perkalian silang (cross product). Masing – masing bentuk perkalian mempunyai sifat – sifat tersendiri, sehingga saya sarankan pembaca lebih mendalami konsep perkalian vektor dengan membaca buku – buku referensi yang ada.

Perkalian titik atau perkalian skalar (dot product) merupakan perkalian antara dua buah besaran vektor yang menghasilkan suatu nilai skalar. Aplikasi perkalian titik contohnya pada perhitungan usaha, usaha didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh dikalikan besar gaya yang sejajar dengan arah perpindahan. Secara matematis usaha didefinisikan sebagai W = F.s, di sini kita melihat salah satu aplikasi perkalian titik pada bidang fisika.

Secara matematis, perkalian titik dirumuskan dalam bentuk R = A.B dan R = AB cos(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua vektor. Konsep penting dalam perkalian titik adalah sifat perkalian titik antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor satuan yang sama memberikan nilai 1 dan perkalian antara dua buah vektor satuan yang berbeda menghasilkan nilai 0, misalnya i.i = j.j = k.k = 1 dan i.j = j.k = k.i = 0. Sehingga melalui operasi aljabar kita dapatkan nilai A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz). Selain itu, pada perkalian titik berlaku A.B = B.A. Melalui konsep tersebut, kita dapat mengaplikasikan operasi perkalian matriks pada operasi perkalian titik dua buah vektor. Perhatikan bahwa syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.

Misalkan kita akan mengalikan vektor A.B menghasilkan nilai skalar R, maka kita harus men-transpose matriks vektor B yang memiliki ukuran 1×3 sehingga menjadi matriks berukuran 3×1. Ingat bahwa pada perkalian titik kita melakukan transpos pada matriks tertentu sehingga menghasilkan hasil perkalian berupa



matriks berukuran 1×1.Kita kalikan vektor A dan B-transpos untuk mendapatkan nilai R.

            Kita dapat melihat bahwa dengan menggunakan perkalian matriks yang menghasilkan matriks berukuran 1×1, kita bisa mendapatkan hasil perkalian titik antara dua vektor. Melalui perkalian matriks kita dapat menghindari perkalian antara dua vektor satuan yang berbeda yang menghasilkan nilai 0 (ingat bahwa meskipun kita tidak menuliskan vektor satuan i, j, k tetapi posisi kolom atau baris yang ditempati menunjukkan vektor satuan yang dimiliki nilai yang bersangkutan, sehingga sifat – sifat vektor satuan juga tetap dimiliki oleh nilai tersebut). Kita juga dapat melihat bahwa perkalian tersebut bersesuaian dengan persamaan perkalian titik A.B = (Ax.Bx)+(Ay.By)+(Az.Bz).

            Perkalian silang (cross product) adalah perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan vektor lain yang arahnya tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor yang dikalikan. Aplikasi perkalian silang contohnya pada perhitungan torsi atau torka oleh suatu gaya. Torsi atau torka didefinisikan sebagai hasil perkalian silang antara suatu gaya dengan panjang lengan yang tegak lurus terhadap arah gaya yang bekerja. Secara matematis torsi didefinisikan sebagai torsi = Fxd, di sini kita melihat salah satu aplikasi perkalian silang pada bidang fisika.

             Secara matematis, perkalian silang dirumuskan dalam bentuk R = AxB dan R = AB sin(t), dengan t adalah besar sudut apit terkecil di antara kedua vektor. Konsep penting dalam perkalian silang adalah sifat perkalian titik antar vektor satuan. Pada perkalian titik perkalian antara dua buah vektor satuan yang sama memberikan nilai 0, misalnya ixi = jxj = kxk = 0. Sedangkan untuk vektor satuan lainnya berlaku sifat ixj =k,  jxk = i, kxi = j, dan jxi = -k, ixk = -j, kxj = -i. Sehingga melalui operasi aljabar kita bisa mendapatkan nilai AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k. Selain itu, perkalian silang memiliki sifat AxB = -BxA. Untuk menyelesaikan perkalian silang dua buah vektor kita dapat menggunakan konsep determinan matriks 3×3. Salah satu cara untuk mencari determinan matriks 3×3 adalah dengan metode Sarrus, untuk memahami metode ini silahkan membaca referensi – referensi lain tentang metode Sarrus.

Untuk menghitung nilai perkalian silang  AxB = R, kita dapat menggunakan konsep determinan matriks 3×3 dengan cara menyusun matriks vektor A dan B menjadi matriks berukuran 3×3 dengan menambahkan matriks vektor satuan [i j k] pada baris pertama, kemudian menempatkan matriks vektor A pada baris kedua dan matriks vektor B pada baris ketiga. Kita dapat memperoleh nilai R dengan cara mencari determinan dari


matriks 3×3 tersebut.
          Melalui penggunaan konsep determinan kita dapa melihat kesesuaian antara bentuk aljabar determinan matriks 3×3 dengan rumus yang kita miliki untuk mencari nilai hasil perkalian silang vektor AxB = (Ay.Bz – Az.By)i + (Az.Bx – Ax.Bz)j + (Ax.By – Ay.Bx)k.

Uraian di atas adalah metode analisis vektor dengan menggunakan pendekatan matriks. Kita bisa memandang sebuah vektor sebagai suatu bentuk matriks dan menggunakan operasi matematika yang berlaku pada matriks untuk mencari nilai dari hasil operasi matematika dasar pada vektor yang bersangkutan. Melalui pendekatan ini kita dapat menyederhanakan analisis vektor sehingga terhindar dari keharusan untuk menulis rumus yang cukup panjang. Selain itu, sifat – sifat  vektor satuan dapat diterapkan pada pendekatan matriks. Akan tetapi, pendekatan matriks menuntut ketelitian yang cukup tinggi karena operasi pada matriks melibatkan nilai – nilai yang memiliki koordinat posisi yang berbeda – beda dan letak nilai tersebut sangat mempengaruhi hasil operasi matriks.